有关计算机浮点数的思考。

计算机的浮点数只能近似表示一些非常精确的数。


本篇文章是对阮一峰《浮点数的二进制表示》的思考过程。

前言

本来是想对CSAPP的的信息表示的浮点数表示做一下总结的,不过写了几百字后放弃了,主要是对浮点数还不够了解。不过看过阮一峰大神的文章之后,不禁大叹一声。这篇文章就想总结一下自己对浮点数的理解。

由一个题目说起

有一道C语言的练习题,是这样的

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#include <stdio.h>

void main(void){

  int num=9; /* num是整型变量,设为9 */

  float* pFloat=&num; /* pFloat表示num的内存地址,但是设为浮点数 */

  printf("num的值为:%d\n",num); /* 显示num的整型值 */

  printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat); /* 显示num的浮点值 */

  *pFloat=9.0; /* 将num的值改为浮点数 */

  printf("num的值为:%d\n",num); /* 显示num的整型值 */

  printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat); /* 显示num的浮点值 */

}

运行结果如下:

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coral@xx:~/workspace/csapp$ ./float
num的值为:9
*pFloat的值为:0.000000
num的值为:1091567616
*pFloat的值为:9.000000
  • 第一行,直接输出num的值,这个毫无疑问是对的。
  • 第二行,输出为什么为0?

    float和int类型的变量存储空间都是4个字节。令一个float类型的指针指向num的地址,然后通过*float 的方式访问,会将num地址内存储的内容以4字节浮点数解析。

  • 第三行,输出为什么是一个类似乱码的数值?

    将原来num变量的内容通过float类型的指针采取*float的方式赋值为9.0,然而输出的时候按照int的方式输出,所以解析错误,出现乱码。

  • 第四行,这个就没有疑问了

    通过float类型指针,然后通过float类型指针访问,所以解析方式是相同的,所以答案正如所料。

总之,这个题就是需要考虑int类型和float类型的存储格式。如果按照不同的方式解析肯定会出现错误。

一句话

内存只是一个字节数组而已,不管是float、int还是其他类型的变量,不过是内存中需要的大小或者是存储格式不同而已,无其他区别。

int的存储格式

int是4字节类型,也就是32位。int的存储格式就是32位补码。这个不必多言,很好理解。这篇文章重点写浮点数的存储格式。

float的存储格式

float的存储格式正如下图,在这里我们只考虑简单的单精度浮点数和双精度浮点数:

科学计数法

因为浮点数的需求是要表示小数、特大数和非常接近零的数。当然由于浮点数精度总是有限的,所以有一些数值只能近似表示,而不能完全相等。

下面再来回想一下科学计数法,当然这我们很早之前就学过,比如下面这个数:

$$
5.21\times10^{1314}
$$

如果我们不使用科学计数法的话就需要用1313位数字来表示,这样就太麻烦了。所以就采用了科学计数法来表示,用于节省“空间”。

“二进制”科学计数法

与此目的相同,计算机为了表示一些数,就采用了“二进制”版本的科学计数法,比如数值7.0,就可以用以下“二进制”科学计数法表示:

$$
1.11\times2^2
$$

它是怎么来的呢?因为7.0的二进制表示为111,将小数点左移两位,相应的就需要乘上$2^2$来使其相等。

浮点数的存储格式的想法就来自于此,因为这样能够大大减少存储空间,另外一个好处就是能够在误差允许的范围内表示非常大的数($\pm\infty$)或者非常接近于0的数($f\to0$)。

浮点数一般用如下方式表示:

$$
(-1)^S\times M\times2^E
$$

  • S用于表示浮点数的符号
  • M用于表示有效数字,$1\leq M<2$
  • E用于表示指数

所以计算机只需要存储这三部分即可。

单精度浮点数的存储格式

与想象的方式还有点不同,除了一些优化外,还需要遵守(abicd)一些约定。

下面的表格便是32位浮点数大端法表示的存储格式:

sign(符号) exp(指数) frac(有效数字小数部分)
1位 8位 23位
  • 32位浮点数的存储格式,大端法表示就是符号+指数+有效数字小数部分
  • 因为有效数字必须满足 $1\le frac<2$,所以二进制的小数点前的一位总是1,所以省略不写
  • 因为指数不仅需要表示正数次幂,也需要能表示负数次幂,可能是字节对齐的缘故(for the sake of ),所以指数部分不能采用补码形式表示,而是采用IEEE 754规定采用找中间数的方法,中间数总是$\lfloor\frac{2^{EMax}-1}{2}\rfloor$,比如8位指数,中间数就是$\lfloor\frac{2^8-1}{2}\rfloor=127$。在表示的时候需要将真实值+中间数。
  • E的规定
    • E不全为0并且不全为1。浮点数的值就是E减去中间数127得到指数真实值,然后有效数字小数部分M前面加上1
    • E全为0。浮点数的指数为1-中间数(32位浮点数为1-127),有效数字前不再+1,这样就为0.xxxx的小数,而且可以表示非常接近于0的数。
    • E全为1。如果有效数字全为0,则表示$\pm\infty$;否则就表示这不是一个数 NaN

双精度浮点数的存储格式

解析方法与单精度浮点数相同,存储格式类似。
下面的表格便是64位浮点数大端法表示的存储格式:

sign(符号) exp(指数) frac(有效数字小数部分)
1位 11位 52位

例题题解

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#include <stdio.h>

void main(void){

  int num=9; /* num是整型变量,设为9 */

  float* pFloat=&num; /* pFloat表示num的内存地址,但是设为浮点数 */

  printf("num的值为:%d\n",num); /* 显示num的整型值 */

  printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat); /* 显示num的浮点值 */

  *pFloat=9.0; /* 将num的值改为浮点数 */

  printf("num的值为:%d\n",num); /* 显示num的整型值 */

  printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat); /* 显示num的浮点值 */

}
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coral@xx:~/workspace/csapp$ ./float
num的值为:9
*pFloat的值为:0.000000
num的值为:1091567616
*pFloat的值为:9.000000
  1. 第二行,为什么是0.00000?

执行printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat);语句时,变量存储空间内是存储的int类型的9,二进制表示为0000-0000-0000-0000-0000-0000-0000-1001,但是输出使用float指针类型索引,所以按照此类型解析的话,二进制解析为0-00000000-00000000000000000001001,所以指数E为全0。浮点数真值为:

$$
V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^{-126}=1.001×2^{-146}
$$
数值几乎为0,所以答案就明了了。

  1. 第三行,为什么是1091567616?

这个同理了,只不过是反向思考。

首先用float指针将数值设置为9.0。9的二进制表示为1001,用”二进制“科学计数法表示为$1.001\times2^3$,所以S为0,E为3+127=130(二进制为10000010),有效数为001,所以变量存储的内容为0-10000010-00100000000000000000000,然后将这个值用int类型解析,0100-0001-0001-0000-0000-0000-0000-0000,结果为1091567616。